ο μεγαλύτερος πρώτος του Mersenne είναι εδώ.....

Μια διεθνής ερευνητική ομάδα, με τη βοήθεια διασυνδεμένων υπολογιστών από όλο τον κόσμο, ανακάλυψε τον μεγαλύτερο μέχρι σήμερα πρώτο αριθμό, ο οποίος διαθέτει  23.249.425 ψηφία.

Ο νέος αριθμός,   2^77232917–1 γνωστός με την κωδική ονομασία M77232917, διαθέτει σχεδόν ένα εκατομμύριο περισσότερα ψηφία σε σχέση με τον προηγούμενο κάτοχο του ρεκόρ, έναν πρώτο αριθμό που είχε βρεθεί τον Ιανουάριο του 2016 και ήταν ο M74207281, δηλαδή ο 2^74207281–1  με 22.338.618 ψηφία. Αυτός ο τελευταίος ήταν κατά περίπου πέντε εκατομμύρια ψηφία μεγαλύτερος από τον προπροηγούμενο κάτοχο του ρεκόρ, που είχε ανακαλυφθεί το 2013.

Ανήκει σε μια ειδική κατηγορία πρώτων αριθμών, τους λεγόμενους «αριθμούς Μερσέν», από το όνομα του Γάλλου μοναχού του 17ου αιώνα Martin Mersenne που τους μελέτησε πρώτος. Πρόκειται για τον 50ό κατά σειρά αριθμό Μερσέν που έχει ποτέ βρεθεί.

Αρχικά ο νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός ανακαλύφθηκε από τον 51χρονο αμερικανό ηλεκτρολόγο μηχανικό Τζόναθαν Πέις από το Τενεσί, μετά από έξι 24ωρα ασταμάτητων υπολογισμών στον υπολογιστή του, ένα κατόρθωμα για το οποίο αναμένεται να βραβευθεί με 3.000 δολάρια. Στη συνέχεια, η διεθνής ερευνητική ομάδα GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) χρησιμοποίησε τέσσερις υπολογιστές άλλων εθελοντών για να επιβεβαιώσει το αποτέλεσμα.

«Εξεπλάγην που τον βρίσκαμε τόσο γρήγορα. Περιμέναμε να πάρει περισσότερο χρόνο. Είναι σαν να βρίσκεις δύο νεκρές γάτες στο δρόμο. Δεν περιμένεις να βρεις τόσο κοντά τη μία στην άλλη», δήλωσε ο καθηγητής μαθηματικών Κρις Κάλντγουελ του Πανεπιστημίου του Τενεσί.

Ο καθηγητής μαθηματικών Κέρτις Κούπερ του Πανεπιστημίου του Κεντρικού Μισούρι στις ΗΠΑ, ο οποίος είχε βρει τον προηγούμενο μεγαλύτερο πρώτο αριθμό τον Ιανουάριο του 2016, δήλωσε «λίγο λυπημένος που έχασε το ρεκόρ τόσο γρήγορα», αλλά και «πραγματικά χαρούμενος για τον οργανισμό GIMPS και τον συγκεκριμένο ερευνητή που βρήκε το νέο αριθμό μετά από 14 χρόνια σκληρής δουλειάς, τόσο σκληρής όσο αυτή που είχα κάνει κι εγώ».
Οι πρώτοι αριθμοί, μεταξύ άλλων, χρησιμοποιούνται στην κρυπτογραφία, δηλαδή στα μαθηματικά που διασφαλίζουν ασφάλεια στις συναλλαγές και στις επαφές μέσω διαδικτύου. 

από την Αριθμομαγεία

Οι πρώτοι αριθμοί του Mersenne 

Ο Martin Mersenne (Μερσέν) (1588-1648) ήταν ένας Γάλλος καλόγερος που τα ενδιαφέροντα του δεν περιορίζονταν μόνο σε θρησκευτικά θέματα!

Ήταν θεολόγος, φιλόσοφος, μαθηματικός και θεωρητικός της μουσικής.

Λάτρευε τη μουσική και ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε μια ολοκληρωμένη θεωρία αρμονίας, έτσι συχνά αναφέρεται και ως ο «πατέρας της ακουστικής»

Ένας  τομέας των ενδιαφερόντων του ήταν και τα μαθηματικά. Αλληλογραφούσε πολύ συχνά με το Φερμά (Fermat) και ήταν αυτός που
δημοσιοποίησε πολλούς από τους ισχυρισμούς του καθώς και με τους Γαλιλαίο, Πασκάλ και πολλούς ακόμα μεγάλους μαθηματικούς της εποχής του.

Ο Μερσέν έδειξε πολύ μεγάλο ενδιαφέρον για τους πρώτους αριθμούς (πρώτος είναι ένας αριθμός που διαιρείται μόνο από την μονάδα και τον εαυτό του) και έφτιαξε ένα μηχανισμό με τον οποίο προσπαθούσε να τους παράγει.

Η ιδέα του Μερσέν ήταν πάρα πολύ απλή. Προσπαθούσε να φτιάξει πρώτους αριθμούς πολλαπλασιάζοντας το 2 πολλές φορές με τον εαυτό του και αφαιρώντας την μονάδα (2^ν -1) για παράδειγμα 2x2x2x2x2 – 1 = 31 που είναι πρώτος αριθμός.

Βέβαια ο μηχανισμός αυτός δεν έδινε πάντα πρώτους αριθμούς, ο αριθμός 2x2x2x2 – 1 = 15 δεν είναι πρώτος αριθμός.

Γρήγορα κατάλαβε πως για να είναι ο 2^ν -1 πρώτος αριθμός έπρεπε και το ν να είναι πρώτος αριθμός. Ο αριθμός 2⁴–1 δεν είναι πρώτος αφού το 4 είναι σύνθετος αριθμός (όχι πρώτος).

Η κατάσταση έγινε ακόμα πιο πολύπλοκη όταν αντιλήφθηκε ότι ακόμα και αν ο εκθέτης ν είναι πρώτος αριθμός, ο αριθμός 2^ν–1 δεν είναι υποχρεωτικά πρώτος αριθμός.

Ο αριθμός 2¹¹–1=2047=23∗89 είναι σύνθετος παρόλο που το 11 είναι πρώτος αριθμός.

Μέσα από την μελέτη αυτών των αριθμών ο Μερσέν κάνει μία πρόβλεψη:

Ο αριθμός  2^ν–1 είναι πρώτος αριθμός για τις τιμές του

ν : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257

Ο αριθμός 2²⁵⁷–1  είναι τόσο μεγάλος που πάρα πολύ δύσκολα κάποιος θα μπορούσε να αμφισβητήσει την πρόβλεψή του.

Το 1857 ο Γάλλος μαθηματικός Edouard Lucas (1842 – 1891) σε ηλικία 15 ετών άρχισε να ελέγχει τον αριθμό 2¹²⁷–1 για να δει αν είναι πρώτος, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που ο ίδιος είχε ανακαλύψει. Το 1876 μετά από 19 χρόνια δοκιμών και μάλιστα με το χέρι, ο Lucas απόδειξε ότι ο αριθμός   2¹²⁷–1 που έχει 39 ψηφία, είναι πρώτος. Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Lucas απέδειξε πως ο Mersenne είχε παραλείψει από τον κατάλογο των αριθμών ν  για τους οποίους ο 2^ν–1είναι πρώτος, τους 61, 89 και 107 ενώ είχε συμπεριλάβει λανθασμένα το 67.

Παρόλη τη σημαντική δουλειά του Lucas στους πρώτους αριθμούς του Mersenne, ο αριθμός 2²⁵⁷–1   ήταν ακόμα ένα απόρθητο κάστρο, ώσπου το 1930 ένας Αμερικανός μαθηματικός ο Derrick Henry Lehmer σε ηλικία 25 ετών, βελτιώνοντας την μέθοδο του Lucas, ήρθε να ρίξει λίγη σκιά στη λαμπερή φήμη του Mersenne αποδεικνύοντας ότι ο αριθμός  2²⁵⁷–1  δεν είναι πρώτος αριθμός !!!!.

Η μέθοδος του Lehmer είναι απλή στην υλοποίηση αλλά καταπληκτική στη σύλληψή της. Ο Lehmer απέδειξε ότι ο αριθμός 2^ν–1 με  ν πρώτο αριθμό, είναι πρώτος αριθμός αν διαιρεί έναν άλλο αριθμό που ονομάστηκε αριθμός Lucas – Lehmer και συμβολίζεται με L(N).

Οι αριθμοί Lucas – Lehmer ορίζονται με αναδρομικό τρόπο.

Έτσι για να βρούμε τον L(N) υψώνουμε τον προηγούμενό του στο τετράγωνο και αφαιρούμε το 2, δηλαδή

L(N)=L(N–1)² –2 .

Για παράδειγμα για Ν = 3 θέτουμε σημείο εκκίνησης L(3) = 14 και συνεπώς:

L(4) = L(3)² -2=14^2 – 2 = 194,

L(5) = 194^2 – 2 = 37634,

L(6) = 37634^2 – 2 = 1416317955,…

Ο αριθμός λοιπόν  2⁵–1=31 διαιρεί τον L(5) = 37634 και συνεπώς είναι πρώτος.

Με αυτό τον τρόπο κλείνει ο κύκλος των προβλέψεων του Mersenne και ανοίγει ο δρόμος για την ανακάλυψη και άλλων πρώτων αριθμών του Mersenne που λόγω της μορφής τους φτάνουν σε απίστευτο αριθμό ψηφίων, μόνο που τώρα οι μαθηματικοί εκτός της μεθόδου Lucas – Lehmer ( Lucas – Lehmer primality test ) έχουν συμμάχους τους και τους υπολογιστές. Με την βοήθειά τους σήμερα είναι γνωστοί 48 αριθμοί του Mersenne εκ των οποίων ο τελευταίος ήταν  ο  

2^57885161–1 που έχει 17.425.170 ψηφία!!

Ακολούθησαν οι M74207281, δηλαδή ο 2^74207281–1  με 22.338.618 ψηφία και Ο νέος αριθμός,   2^77232917–1 δηλαδή ο M77232917

Σήμερα στην αναζήτηση των μεγάλων πρώτων αριθμών του Mersenne έχει πρωταρχικό ρόλο το GIMPS

( Great Internet Mersenne Prime Search ).

G I M P S