«Δεν μπορώ να βρω ησυχία

που την ψυχή μου κτήμα έχει!

Δεν μπορώ στην ηρεμία!!

Διαρκώς να προχωράω πρέπει!!!»

Karl Marx....

Σάββατο, 6 Ιανουαρίου 2018

ο μεγαλύτερος πρώτος του Mersenne είναι εδώ.....




Μια διεθνής ερευνητική ομάδα, με τη βοήθεια διασυνδεμένων υπολογιστών από όλο τον κόσμο, ανακάλυψε τον μεγαλύτερο μέχρι σήμερα πρώτο αριθμό, ο οποίος διαθέτει  23.249.425 ψηφία.
Ο νέος αριθμός,   277232917–1 γνωστός με την κωδική ονομασία M77232917, διαθέτει σχεδόν ένα εκατομμύριο περισσότερα ψηφία σε σχέση με τον προηγούμενο κάτοχο του ρεκόρ, έναν πρώτο αριθμό που είχε βρεθεί τον Ιανουάριο του 2016 και ήταν ο M74207281, δηλαδή ο 274207281–1  με 22.338.618 ψηφία. Αυτός ο τελευταίος ήταν κατά περίπου πέντε εκατομμύρια ψηφία μεγαλύτερος από τον προπροηγούμενο κάτοχο του ρεκόρ, που είχε ανακαλυφθεί το 2013.
Ανήκει σε μια ειδική κατηγορία πρώτων αριθμών, τους λεγόμενους «αριθμούς Μερσέν», από το όνομα του Γάλλου μοναχού του 17ου αιώνα Martin Mersenne που τους μελέτησε πρώτος. Πρόκειται για τον 50ό κατά σειρά αριθμό Μερσέν που έχει ποτέ βρεθεί.
Αρχικά ο νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός ανακαλύφθηκε από τον 51χρονο αμερικανό ηλεκτρολόγο μηχανικό Τζόναθαν Πέις από το Τενεσί, μετά από έξι 24ωρα ασταμάτητων υπολογισμών στον υπολογιστή του, ένα κατόρθωμα για το οποίο αναμένεται να βραβευθεί με 3.000 δολάρια. Στη συνέχεια, η διεθνής ερευνητική ομάδα GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) χρησιμοποίησε τέσσερις υπολογιστές άλλων εθελοντών για να επιβεβαιώσει το αποτέλεσμα.

«Εξεπλάγην που τον βρίσκαμε τόσο γρήγορα. Περιμέναμε να πάρει περισσότερο χρόνο. Είναι σαν να βρίσκεις δύο νεκρές γάτες στο δρόμο. Δεν περιμένεις να βρεις τόσο κοντά τη μία στην άλλη», δήλωσε ο καθηγητής μαθηματικών Κρις Κάλντγουελ του Πανεπιστημίου του Τενεσί.
Ο καθηγητής μαθηματικών Κέρτις Κούπερ του Πανεπιστημίου του Κεντρικού Μισούρι στις ΗΠΑ, ο οποίος είχε βρει τον προηγούμενο μεγαλύτερο πρώτο αριθμό τον Ιανουάριο του 2016, δήλωσε «λίγο λυπημένος που έχασε το ρεκόρ τόσο γρήγορα», αλλά και «πραγματικά χαρούμενος για τον οργανισμό GIMPS και τον συγκεκριμένο ερευνητή που βρήκε το νέο αριθμό μετά από 14 χρόνια σκληρής δουλειάς, τόσο σκληρής όσο αυτή που είχα κάνει κι εγώ».
Οι πρώτοι αριθμοί, μεταξύ άλλων, χρησιμοποιούνται στην κρυπτογραφία, δηλαδή στα μαθηματικά που διασφαλίζουν ασφάλεια στις συναλλαγές και στις επαφές μέσω διαδικτύου. 

από την Αριθμομαγεία


Οι πρώτοι αριθμοί του Mersenne 






Ο Martin Mersenne (Μερσέν) (1588-1648) ήταν ένας Γάλλος καλόγερος που τα ενδιαφέροντα του δεν περιορίζονταν μόνο σε θρησκευτικά θέματα!
Ήταν θεολόγος, φιλόσοφος, μαθηματικός και θεωρητικός της μουσικής.
Λάτρευε τη μουσική και ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε μια ολοκληρωμένη θεωρία αρμονίας, έτσι συχνά αναφέρεται και ως ο «πατέρας της ακουστικής»

Ένας  τομέας των ενδιαφερόντων του ήταν και τα μαθηματικά. Αλληλογραφούσε πολύ συχνά με το Φερμά (Fermat) και ήταν αυτός που
δημοσιοποίησε πολλούς από τους ισχυρισμούς του καθώς και με τους Γαλιλαίο, Πασκάλ και πολλούς ακόμα μεγάλους μαθηματικούς της εποχής του.

Ο Μερσέν έδειξε πολύ μεγάλο ενδιαφέρον για τους πρώτους αριθμούς (πρώτος είναι ένας αριθμός που διαιρείται μόνο από την μονάδα και τον εαυτό του) και έφτιαξε ένα μηχανισμό με τον οποίο προσπαθούσε να τους παράγει.
Η ιδέα του Μερσέν ήταν πάρα πολύ απλή. Προσπαθούσε να φτιάξει πρώτους αριθμούς πολλαπλασιάζοντας το 2 πολλές φορές με τον εαυτό του και αφαιρώντας την μονάδα (2ν -1) για παράδειγμα 2x2x2x2x2 – 1 = 31 που είναι πρώτος αριθμός.
Βέβαια ο μηχανισμός αυτός δεν έδινε πάντα πρώτους αριθμούς, ο αριθμός 2x2x2x2 – 1 = 15 δεν είναι πρώτος αριθμός.
Γρήγορα κατάλαβε πως για να είναι ο 2ν -1 πρώτος αριθμός έπρεπε και το ν να είναι πρώτος αριθμός. Ο αριθμός 24–1 δεν είναι πρώτος αφού το 4 είναι σύνθετος αριθμός (όχι πρώτος).
Η κατάσταση έγινε ακόμα πιο πολύπλοκη όταν αντιλήφθηκε ότι ακόμα και αν ο εκθέτης ν είναι πρώτος αριθμός, ο αριθμός 2ν–1 δεν είναι υποχρεωτικά πρώτος αριθμός.
Ο αριθμός 211–1=2047=2389 είναι σύνθετος παρόλο που το 11 είναι πρώτος αριθμός.

Μέσα από την μελέτη αυτών των αριθμών ο Μερσέν κάνει μία πρόβλεψη:
Ο αριθμός  2ν–1 είναι πρώτος αριθμός για τις τιμές του
ν : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257

Ο αριθμός 2257–1  είναι τόσο μεγάλος που πάρα πολύ δύσκολα κάποιος θα μπορούσε να αμφισβητήσει την πρόβλεψή του.

Το 1857 ο Γάλλος μαθηματικός Edouard Lucas (1842 – 1891) σε ηλικία 15 ετών άρχισε να ελέγχει τον αριθμό 2127–1 για να δει αν είναι πρώτος, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που ο ίδιος είχε ανακαλύψει. Το 1876 μετά από 19 χρόνια δοκιμών και μάλιστα με το χέρι, ο Lucas απόδειξε ότι ο αριθμός   2127–1 που έχει 39 ψηφία, είναι πρώτος. Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Lucas απέδειξε πως ο Mersenne είχε παραλείψει από τον κατάλογο των αριθμών ν  για τους οποίους ο 2ν–1είναι πρώτος, τους 61, 89 και 107 ενώ είχε συμπεριλάβει λανθασμένα το 67.

Παρόλη τη σημαντική δουλειά του Lucas στους πρώτους αριθμούς του Mersenne, ο αριθμός 2257–1   ήταν ακόμα ένα απόρθητο κάστρο, ώσπου το 1930 ένας Αμερικανός μαθηματικός ο Derrick Henry Lehmer σε ηλικία 25 ετών, βελτιώνοντας την μέθοδο του Lucas, ήρθε να ρίξει λίγη σκιά στη λαμπερή φήμη του Mersenne αποδεικνύοντας ότι ο αριθμός  2257–1  δεν είναι πρώτος αριθμός !!!!.
Η μέθοδος του Lehmer είναι απλή στην υλοποίηση αλλά καταπληκτική στη σύλληψή της. Ο Lehmer απέδειξε ότι ο αριθμός 2ν–1 με  ν πρώτο αριθμό, είναι πρώτος αριθμός αν διαιρεί έναν άλλο αριθμό που ονομάστηκε αριθμός LucasLehmer και συμβολίζεται με L(N).
Οι αριθμοί LucasLehmer ορίζονται με αναδρομικό τρόπο.
Έτσι για να βρούμε τον L(N) υψώνουμε τον προηγούμενό του στο τετράγωνο και αφαιρούμε το 2, δηλαδή
L(N)=L(N–1)2 –2 .
Για παράδειγμα για Ν = 3 θέτουμε σημείο εκκίνησης L(3) = 14 και συνεπώς:
L(4) = L(3)2 -2=14^2 – 2 = 194,
L(5) = 194^2 – 2 = 37634,
L(6) = 37634^2 – 2 = 1416317955,…
Ο αριθμός λοιπόν  25–1=31 διαιρεί τον L(5) = 37634 και συνεπώς είναι πρώτος.

Με αυτό τον τρόπο κλείνει ο κύκλος των προβλέψεων του Mersenne και ανοίγει ο δρόμος για την ανακάλυψη και άλλων πρώτων αριθμών του Mersenne που λόγω της μορφής τους φτάνουν σε απίστευτο αριθμό ψηφίων, μόνο που τώρα οι μαθηματικοί εκτός της μεθόδου LucasLehmer ( LucasLehmer primality test ) έχουν συμμάχους τους και τους υπολογιστές. Με την βοήθειά τους σήμερα είναι γνωστοί 48 αριθμοί του Mersenne εκ των οποίων ο τελευταίος ήταν  ο  
257885161–1 που έχει 17.425.170 ψηφία!!
Ακολούθησαν οι M74207281, δηλαδή ο 274207281–1  με 22.338.618 ψηφία και Ο νέος αριθμός,   277232917–1 δηλαδή ο M77232917

Σήμερα στην αναζήτηση των μεγάλων πρώτων αριθμών του Mersenne έχει πρωταρχικό ρόλο το GIMPS
( Great Internet Mersenne Prime Search ).

Δευτέρα, 19 Ιουνίου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΙΟΥΝΗΣ 2017_ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ- ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ














Σχόλιο

  • Θέματα απλά
  • Σαφώς ευκολότερα από τα περσινά
  • Πολλά από τα ερωτήματα μπορούσαν να αντιμετωπιστούν με απλές γνώσεις μαθηματικών και λογικής, απλής λογικής αρκεί κάποιος να ήταν γνώστης των εννοιών του μαθήματος
  • Ο χρόνος επαρκούσε για την αντιμετώπιση όλων των θεμάτων
  • Πρόκειται για σαφή υποβάθμιση του Μαθήματος. Κρίμα γιατί τα θέματα που διαπραγματεύεται το Μάθημα: Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής είναι εκτός από ενδιαφέροντα και απολύτως απαραίτητα για την αντιμετώπιση των προπανεπιστημιακών σπουδών σε μια πολύ μεγάλη γκάμα πανεπιστημιακών σχολών


Παρασκευή, 9 Ιουνίου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΙΟΥΝΗΣ 2017 _ ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ











































Σχόλιο


·        Εξαιρετικά Θέματα!!!
·        Για πολύ καλά προετοιμασμένους Μαθητές
·        Ο χρόνος οριακά επαρκούσε να γράψει σωστά όλα τα θέματα ένας πολύ καλός και πολύ ψύχραιμος μαθητής
·        Για επίμονους μαθητές που μελετούσαν Μαθηματικά και στις τρείς τάξεις του Λυκείου
·        Για Μαθηματικούς που επιμένουν στην ποιότητα και στην αναγκαιότητα κάλυψης όλης της ύλης
·        Για Μαθηματικούς που πάνε κόντρα στο ρεύμα της εποχής και εξακολουθούν και διδάσκουν  Θεωρία στα Μαθηματικά και επιμένουν στην Τριγωνομετρία, στη Γεωμετρία κι σε όλα εκείνα που σφυρηλατούν μια ολοκληρωμένη Μαθηματική προσωπικότητα


Τα πράγματα οδεύουν με ταχύτητα, προς το μοναδικό δρόμο που υπάρχει για τη μελέτη των Μαθηματικών, που δεν είναι άλλος παρά ο δρόμος της ποιότητας και της σκληρής δουλειάς και στις τρεις τάξεις του Λυκείου ( τουλάχιστον)  

Εννοείται ότι τα «προγράμματα σπουδών» μεγάλων «αλυσίδων», , «οίκων» και «οικοδιδασκαλείων» και ευαγών άλλων ιδρυμάτων, δεν μπορούν να καλύψουν τέτοια θεματολογία….
Για αυτό και η αναγκαία μουρμούρα….

Για την ηγεσία τι να πω; Όπως πάντα εκτός τόπου και χρόνου….
Δεν υπάρχει πρόβλημα….
«Αντί για έναν Μαθηματικό προσλαμβάνεις έναν Βιολόγο ή έναν ακόμα Φυσικό….»
Δεν υπάρχει πρόβλημα….
για την υποβάθμιση της Διδασκαλίας των Μαθηματικών, και του μαθήματος γενικότερα….. δεν έχει αντιληφθεί απολύτως τίποτα




Χρήστο, Σπύρο, Σπύρο, Νίκο, Αγγελική,…. Πρώτοι ανάμεσα σε Ίσους
Κι όλοι Εσείς οι γενναίοι…
Σας ευχαριστώ  
Για μια ακόμα φορά με κάνετε να νιώθω περήφανος που είχα την τιμή να είμαι δάσκαλος σας
Για μια ακόμα φορά με πείσατε πως αξίζει τον κόπο να επιμένουμε στην ποιότητα και στη λεπτομέρεια


Άντε και του χρόνου μάγκες
Και ακόμα καλύτερα….




Υ.Γ. 1
Η Επανάσταση ξεκινά από τα Μαθηματικά!!!
Αυτό που συμβαίνει με τα Μαθηματικά είναι φοβερό και άξιο προσοχής…. 
Το πώς μπορούμε κάθε χρόνο να ανεβάζουμε το επίπεδο ακόμα πιο ψηλά, γυρίζοντας την πλάτη σε «δοκιμασμένες» συνταγές μετριότητας, 
σε υποτίθεται «συλλογικές» ενορχηστρώσεις 
αναπαραγωγής βαθυστόχαστης κενότητας, 
αγνοώντας τις λαϊκίστικες κορώνες 
και τις βλακώδεις εμμονές 
που αποσκοπούν μόνο και μόνο στο χάιδεμα αυτιών.

Συγχαρητήρια στην Επιτροπή!!!

Όχι μόνο αποτελείται από ανθρώπους που έχουν κάνει μάθημα σε τάξη!!!! Άπειρα χρόνια!!!( κάποιος αφελής αναρωτήθηκε με αγένεια αν μπορεί να έχει συμβεί κάτι τέτοιο!!!) αλλά  και από Επιστήμονες που έχουν μελετήσει το σχολικό βιβλίο και όλα τα σχολικά βιβλία με μεγάλη προσοχή και οξυδέρκεια _ και σίγουρα χωρίς να θεωρούν κανένα εδάφιο των Μαθηματικών «εκτός ύλης»!!

Μερικοί φτηνοί δημαγωγοί ανερυθρίαστα, εγκαλούν την επιστημονική γνώση, γιατί απαιτεί από τους αυριανούς επιστήμονες 
να μπορούν να ξεχωρίσουν τη διαφορά ανάμεσα στην κυβική ρίζα του x τετάρτης, από τη δύναμη του x εις την τέσσερα τρίτα;;;; 
Αυτό κι άλλα πολλά θα έπρεπε οι «πανεπιστήμονες» που κάνουν μαθηματικά Γ Λυκείου σε μαθητές της Α Λυκείου, να τους τα είχαν μάθει στην ώρα τους!!!

Οι ίδιοι που μιλούν για την «αδυσώπητη» Τριγωνομετρία, ας ρίξουν μια ματιά στις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου στο πρόσημο συνάρτησης με τη βοήθεια των άμεσων συνεπειών του υπέροχου κατά τα αλλά «υπαρξιακού θεωρήματος» Bolzano

Υ.Γ.2
Δυστυχώς σε αυτήν την Επανάσταση κάποιοι θα απουσιάζουν 
αυτοί που ανήγαγαν το φορμαλισμό και την ασκησιολογία σε επιστήμη 
αυτοί που αποθεώνουν κάθε μετριότητα και προσδένονται κάθε φορά στο «άρμα» που έχει πέραση… μόνο και μόνο για να μη νιώθουν μοναξιά στην άγνοια τους
που δεν έχουν προσωπική άποψη  για το μάθημα που υποτίθεται  ότι διδάσκουν 

Μην ψάχνουν αλλού τους υπεύθυνους  
Ας  κοιταχτούν στον καθρέφτη….  

κάθε φορά  που ξεχνούν  τη Γεωμετρία στο εβδομαδιαίο πρόγραμμα και στο πρόγραμμα των επαναληπτικών θεμάτων
κάθε φορά  που στριμώχνουν  την Τριγωνομετρία στις συμπληγάδες του αναλυτικού προγράμματος 
μόνο και μόνο  
για να "κάνουν" από νωρίς(!!!!!)  την ύλη της  Γ Λυκείου!!!!, 
 σε ποιους;;;;;  
Σε μαθητές Β Λυκείου αλλά ακόμα και Α Λυκείου!!!! που απλά  είναι άσχετοι από αλγεβρικό λογισμό!!! _ χωρίς μάλιστα να ευθύνονται οι ίδιοι_

κάθε φορά που ( σε συνεννόηση;;;;; ) δε συμπεριλαμβάνουν στην εξεταστέα ύλη των Μαθηματικών της Β Λυκείου την Τριγωνομετρία!!!!!! Με αποτέλεσμα μερικοί μαθητές τους να έχουν να ασχοληθούν με την απλή λύση μιας εξίσωσης του τύπου ημx+συνx=0 στο διάστημα [0,π] από τον Οκτώβρη του 2016!!!!

Και να μην συμπονούν τώρα  τους μαθητές τους… 
ούτε να φορτώνουν τη δική τους αποτυχία _ ως καθηγητές_ σε αποτυχία των μαθητών που κλήθηκαν να αντιμετωπίσουν θέματα που αγνοούσαν την ύπαρξη τους

Είναι πολύ αργά!!
Αυτό που πρέπει να κάνουν είναι
Να τους σέβονται  και να τους προετοιμάζουν σωστά με συνέπεια και αποφασιστικότητα και για τα τρία συνεχόμενα χρόνια του Λυκείου _ και όχι μόνο!!!!_

Υ.Γ. 3
Αυτοί που ξημεροβραδιάζονται στα φόρουμ και στα συνέδρια 
Δεν είχαν πάρει χαμπάρι από τη Θεσσαλονίκη  το 2015 ...  ότι :
τέλος τα «υπαρξιακά θεωρήματα»;;;;;....
Δεν έχουν μελετήσει την εμπεριστατωμένη μελέτη που παρουσιάστηκε και στο συνέδριο της ΟΕΦΕ στα Ιωάννινα το 2016 αλλά και στην ημερίδα της Σχολής Καλαμαρί το 2017 για το έλλειμμα θεωρητικής κατάρτισης των μαθητών που διαγωνίζονται
στις Πανελλαδικές Εξετάσεις, αλλά και των καθηγητών που υποτίθεται τους προετοιμάζουν για τις εξετάσεις αυτές αλλά χωρίς εμβάθυνση στη θεωρία;;;;
Για λοιπόν τώρα τόσο κλάμα;;; 
Τι ακριβώς θέλουν να κρύψουν;  
Άραγε ακόμα αναρωτιούνται αν οι τριγωνομετρικές ανισώσεις είναι εντός ύλης??????


Υ.Γ. 4
Κι οι γονείς;;; είναι άμοιροι ευθυνών;;;;
όταν επιλέγεις με βάση την αντιεπιστημονική λογική των «λίγων και γεμάτων ωρών» ενός ιδιαίτερου
και την αντιδεοντολογική ιδεοληψία «ότι εκεί κάνουν μόνο ότι είναι στην εξεταστέα ύλη, χωρίς τίποτα περιττό!!!!»
Ξέρει λοιπόν κι «η κουτσή μαρία» τι είναι εντός και εκτός ύλης….

Τι είναι «περιττό»; και τι «άχρηστο»;
Έτσι όταν επιλέγεις «μπακάλικο» ή «ιδιαιτεράδικο»….
Όταν επιλέγεις «δάσκαλο» για τα Μαθηματικά!!!! έναν γραφικό κι επικίνδυνο «υπομηχανικό»…. ακολουθώντας το γνωστό σύστημα που ξεκινάει από γνωστούς «δασκάλους» δημοτικού σχολείου….
Όταν λοιπόν επιλέγεις έτσι θα πρέπει να είσαι έτοιμος να διαχειριστείς και την δεδομένη αποτυχία….
Θυμίζω ότι μπορεί κάποιος να κοροϊδεύει πολλούς για μεγάλο διάστημα…. Λιγότερους για κάποιο μικρότερο διάστημα…..
Μέχρι να έρθει η ώρα που θα είναι πολύ δύσκολο να παραμυθιάσει ακόμα κι έναν….



Υ.Γ. 5.
Όσο για τους νεαρούς μαθητές που φωνασκούν στα social media…. 
και εγκαλούν την Επιτροπή ότι τάχα έβαλε θέματα.... για Μαθηματικούς Διαγωνισμούς(!!!!!!) κι άλλα τέτοια φαιδρά…..... 
Απ’ ότι φαίνεται,  παρ' όλες  τις άπειρες ασκήσεις που έλυσαν κατά τη διάρκεια της χρονιάς: από φοβερά και τρομερά βοηθήματα, και ενημερωμένα sites,  μάλλον ξέχασαν να λύσουν τις ασκήσεις του βιβλίου τους:

Όλες οι ασκήσεις των Μαθηματικών Προσανατολισμού 2017 περιέχονται στο Σχολικό Βιβλίο!!!! 

Θέμα Β
§1.2. Άσκηση 2vii  Α ομάδας!!
           Άσκηση 8  Α ομάδας!! Σελίδα 28 (νέα έκδοση)

Θέμα Γ
§3.8 Άσκηση 8 Β ομάδας

Θέμα Δ
§2.3 Άσκηση 9 Β ομάδας
§1.8 Άσκηση 9  Α ομάδας
§3.1 Άσκηση 1ix Α ομάδας
§3.5 Άσκηση 9 Β ομάδας

Non Mollare Mai

Βασίλης Κουγιουμτσιάδης
Μαθηματικός
Φροντιστής Μέσης Εκπαίδευσης
για 27 χρόνια